Линейная алгебра

О-345 Овсянников А.Я. Линейная алгебра: Учебное пособие для экономических специальностей.
Екатеринбург: Изд-во Гуманитарного университета, 1997. - 267 с. ISBN 5-7741-0011-1, ББК 22.143
(Овсянников Александр Яковлевич)

Настоящее учебное пособие представляет собой курс линейной алгебры (с элементами аналитической геометрии), читавшийся автором в течение ряда лет на коммерческом факультете Гуманитарного университета (г. Екатеринбург). Наряду с традиционным материалом о матрицах, определителях, линейных пространствах над числовыми полями и их линейных отображениях, в пособии рассматриваются неотрицательные матрицы и приближенные методы решения систем линейных уравнений.
 Пособие предназначено студентам высших учебных заведений, обучающихся на специальностях экономического профиля.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 8
Введение
0.1. Понятие о математических моделях 10
0.2. Некоторые задачи, приводящие к системам линейных уравнений 14
0.3. Метод Гаусса - Жордана решения систем линейных уравнений
0.3.1. Системы линейных уравнений 17
0.3.2. Метод Гаусса - Жордана на примерах 19
0.3.3. Метод Гаусса - Жордана в общем виде 23
Глава 1. Матрицы и определители
1.1. Матрицы
1.1.1. Понятие матрицы 27
1.1.2. Линейные операции с матрицами 29
1.1.3. Умножение матриц 31
1.1.4. Транспонирование матриц 34
1.1.5. Матричные уравнения 35
1.1.6. Обратная матрица 37
1.2. Определители
1.2.1. Понятие определителя 39
1.2.2. Свойства определителей 41
1.2.3. Критерий обратимости матрицы 45
1.2.4. Крамеровские системы линейных уравнений 46
1.2.5. Примеры вычисления определителей 48
Глава 2. Элементы аналитической геометрии
2.1. Векторная алгебра
2.1.1. Понятие вектора 50
2.1.2. Линейные операции с векторами 52
2.1.3. Проекции точек и векторов 55
2.1.4. Базис. Координаты вектора 59
2.1.5. Системы координат 64
2.1.6. Скалярное произведение 66
2.2. Аналитическая геометрия на плоскости
2.2.1. Уравнение линии на плоскости 68
2.2.2. Прямая линия на плоскости 69
2.2.3. Расстояние от точки до прямой на плоскости 72
2.2.4. Взаимное расположение двух прямых 74
2.2.5. Примеры решения задач 75
2.3. Аналитическая геометрия в пространстве
2.3.1. Уравнения поверхностей и линий в пространстве 78
2.3.2. Уравнения плоскости 79
2.3.3. Расстояние от точки до плоскости 82
2.3.4. Взаимное расположение двух плоскостей 83
2.3.5. Прямая в пространстве 84
2.3.6. Взаимное расположение плоскости и прямой 86
2.3.7. Примеры решения задач 87
Глава 3. Линейные пространства
3.1. Понятие линейного пространства
3.1.1. Аксиомы линейного пространства 90
3.1.2. Примеры линейных пространств 93
3.1.3. Линейно зависимые и независимые системы векторов 93
3.2. Базис и размерность линейного пространства
3.2.1. Элементарные преобразования системы векторов. Максимальные линейно независимые подсистемы 98
3.2.2. Ранг системы векторов. Ранг матрицы 102
3.2.3. Базис и размерность линейного пространства. Координаты векторов 106
3.2.4. Изоморфизмы линейных пространств 109
3.2.5. Изменение базиса. Матрица. перехода 113
3.3. Линейные подпространства
3.3.1. Понятие линейного подпространства 114
3.3.2. Сумма и пересечение 116
3.3.3. Прямая сумма 118
3.4. Линейные многообразия
3.4.1. Понятие линейного многообразия 121
3.4.2. Пересечение и композит 122
3.4.3. Взаимное расположение 124
3.5. Системы линейных уравнений
3.5.1. Критерий совместности 126
3.5.2. Общее решение системы линейных уравнений 127
3.5.3. Однородные системы линейных уравнений 128
3.5.4. Множество решений совместной системы линейных уравнений 131
3.5.5. Использование систем линейных уравнений для решения задач о линейных подпространствах 133
3.5.6. Использование систем линейных уравнений для решения задач о линейных многообразиях 135
Глава 4. Линейные отображения и линейные операторы
4.1. Линейные отображения 139
4.1.1. Понятие линейного отображения. Матрица линейного отображения 140
4.1.2. Образ и ядро линейного отображения 144
4.1.3. Действия с линейными отображениями 149
4.2. Линейные операторы
4.2.1. Понятие линейного оператора. Действия с линейными операторами 152
4.2.2. Характеристический многочлен матрицы или линейного оператора 153
4.2.3. Инвариантные подпространства относительно линейного оператора 155
4.2.4. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора 158
4.2.5. Линейные операторы простой структуры 163
4.3. Жорданово разложение для линейного оператора 164
4.3.1. Корневые подпространства 165
4.3.2. Построение жорданова базиса 171
4.3.3. Жорданова нормальная форма для матрицы 175
Глава 5. Евклидовы и унитарные линейные пространства, и их линейные отображения
5.1. Евклидовы и унитарные пространства
5.1.1. Аксиомы 181
5.1.2. Примеры 183
5.1.3. Неравенство Коши - Буняковского 183
5.1.4. Ортогональность векторов. Процесс ортогонализации 186
5.1.5. Матрица Грама 188
5.1.6. Ортогональное дополнение 190
5.1.7. Расстояния и углы между векторами и линейными многообразиями 191
5.1.8. Примеры решения задач 193
5.2. Линейные отображения и операторы евклидовых и унитарных пространств 195
5.2.1. Сопряженное отображение 196
5.2.2. Нормальные операторы 200
5.2.3. Ортогональные и унитарные операторы 205
5.2.4. Самосопряженные операторы 209
Глава 6. Приложения и некоторые дополнительные вопросы
6.1. Нормы векторов, линейных операторов и матриц 213
6.1.1. Нормы векторов 214
6.1.2. Нормы линейных операторов и матриц 215
6.2. Неотрицательные матрицы 217
6.2.1. Положительные матрицы 218
6.2.2. Стохастические матрицы 221
6.2.3. Продуктивные матрицы 222
6.3. Квадратичные формы
6.3.1. Понятие квадратичной формы. Матричное представление 224
6.3.2. Канонический и нормальный вид квадратичной формы 226
6.3.3. Положительно определенные формы 230
6.3.4. Закон инерции квадратичных форм 233
6.4. Приближенное решение систем линейных уравнений. Ошибки в обратных матрицах и решениях систем линейных уравнений 234
6.4.1. Приближенные методы решения систем линейных уравнений 235
6.4.2. Ошибки в обратных матрицах 237
6.4.3. Ошибки при решении систем линейных уравнений 239
Глава 7. Дополнения
7.1. Элементы теории множеств 243
7.1.1. Множества и операции с ними 244
7.1.2. Отображения 245
7.1.3. Метод математической индукции 247
7.2. Многочлены над полем
7.2.1. Понятие числового поля 247
7.2.2. Многочлены и операции с ними 249
7.2.3. Корни многочленов 251
Литература 254
Предметный указатель 256
Список обозначений 263
Греческий алфавит 266
Hosted by uCoz